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La conjecture de Singmaster, nommée ainsi en l'honneur de David Singmaster, affirme qu'il y a un majorant fini des multiplicités des termes du triangle de Pascal (autres que 1 qui apparaît un nombre infini de fois), à savoir le nombre de fois où un terme apparaît dans le triangle. Paul Erdős a dit que la conjecture de Singmaster était probablement vraie mais qu'elle serait très difficile à démontrer.

• Conjecture et résultats connus

• Exemples numériques

• Voir aussi

• Notes et références

• Liens externes

Il est clair que le seul nombre qui apparaît une infinité de fois dans le triangle de Pascal est 1 car tout autre nombre x ne peut apparaître que dans les x + 1 premières lignes du triangle.

Soit N(a) le nombre de fois où le nombre a > 1 apparaît dans le triangle de Pascal. En notation « grand O de », la conjecture affirme que :

N ( a ) = O ( 1 ) . {\displaystyle N(a)=O(1).}

Singmaster a montrécite-ref-1[1] que

N ( a ) = O ( log ⁡ ⁡ a ) . {\displaystyle N(a)=O(\log a).}

Abbot, Erdős, et Hansoncite-ref-2[2] affinèrent l'estimation. La meilleure limite actuelle, due à Daniel Kanecite-ref-3[3], est

N ( a ) = O ( ( log ⁡ ⁡ a ) ( log ⁡ ⁡ log ⁡ ⁡ log ⁡ ⁡ a ) ( log ⁡ ⁡ log ⁡ ⁡ a ) 3 ) . {\displaystyle N(a)=O\left({\frac {(\log a)(\log \log \log a)}{(\log \log a)^{3}}}\right).}

Singmaster a montrécite-ref-4[4] que l'équation diophantienne

( m j − − 1 ) = ( m − − 1 j ) {\displaystyle {m \choose j-1}={m-1 \choose j}}

a une infinité de solutions (m, j). Il s'ensuit qu'il y a une infinité de termes de multiplicité au moins 6. Les solutions sont données parcite-ref-5[5]

m = F 2 ℓ ℓ F 2 ℓ ℓ + 1 e t j = F 2 ℓ ℓ − − 1 F 2 ℓ ℓ , {\displaystyle m=F_{2\ell }F_{2\ell +1}\quad {\rm {et}}\quad j=F_{2\ell -1}F_{2\ell },}

où ℓ ≥ 2 et Fn est le n-ième nombre de Fibonacci (indicé selon la convention suivante : F1 = F2 = 1).

• 2 apparaît une seule fois ; tout nombre plus grand apparaît plus d'une fois.

• 4, ainsi que tout nombre premier différent de 2, apparaît 2 fois.

• 6 apparaît 3 fois.

• Beaucoup de nombres apparaissent 4 fois.

• On ne sait pas s'il existe des nombres apparaissant 5 fois.

• Les sept nombres suivants apparaissent 6 fois :

( 120 1 ) = ( 16 2 ) = ( 10 3 ) , {\displaystyle {120 \choose 1}={16 \choose 2}={10 \choose 3},}

( 210 1 ) = ( 21 2 ) = ( 10 4 ) , {\displaystyle {210 \choose 1}={21 \choose 2}={10 \choose 4},}

( 1540 1 ) = ( 56 2 ) = ( 22 3 ) , {\displaystyle {1540 \choose 1}={56 \choose 2}={22 \choose 3},}

( 7140 1 ) = ( 120 2 ) = ( 36 3 ) , {\displaystyle {7140 \choose 1}={120 \choose 2}={36 \choose 3},}

( 11628 1 ) = ( 153 2 ) = ( 19 5 ) , {\displaystyle {11628 \choose 1}={153 \choose 2}={19 \choose 5},}

( 24310 1 ) = ( 221 2 ) = ( 17 8 ) , {\displaystyle {24310 \choose 1}={221 \choose 2}={17 \choose 8},}

( 61218182743304701891431482520 1 ) = ( 104 39 ) = ( 103 40 ) , {\displaystyle {61218182743304701891431482520 \choose 1}={104 \choose 39}={103 \choose 40},} qui correspond à ℓ = 3 dans la suite de Singmaster.

• Parmi les autres nombres apparaissant au moins 7 fois, le plus petit est le précédent dans la suite de Singmaster (ℓ = 2). Il apparaît 8 fois : ( 3003 1 ) = ( 78 2 ) = ( 15 5 ) = ( 14 6 ) . {\displaystyle {3003 \choose 1}={78 \choose 2}={15 \choose 5}={14 \choose 6}.} On ne sait pas s'il existe d'autres nombres apparaissant au moins 7 fois.

(en)

Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé

«

Singmaster's conjecture

»

(

voir la liste des auteurs

)

.

cite-note-11. ↑ d-singmaster1971(en) D. Singmaster, « Research Problems: How often does an integer occur as a binomial coefficient? », Amer. Math. Monthly, vol. 78, no 4,‎ 1971, p. 385–386.

cite-note-22. ↑ h-l-abbott-paul-erd-s-et-d-hanson1974(en) H. L. Abbott, Paul Erdős et D. Hanson, « On the number of times an integer occurs as a binomial coefficient », Amer. Math. Monthly, vol. 81, no 3,‎ 1974, p. 256–261 (DOI 10.2307/2319526).

cite-note-33. ↑ daniel-m-kane2007(en) Daniel M. Kane, « Improved bounds on the number of ways of expressing t as a binomial coefficient », Integers: Electronic Journal of Combinatorial Number Theory, vol. 7,‎ 2007, #A53 (lire en ligne).

cite-note-44. ↑ d-singmaster1975(en) D. Singmaster, « Repeated binomial coefficients and Fibonacci numbers », Fibonacci Quarterly, vol. 13, no 4,‎ 1975, p. 295-298 (lire en ligne).

cite-note-55. ↑ Voir weissteineric-w-weisstein(en) Eric W. Weisstein, « Pascal's Triangle », sur MathWorld et suite A003015 de l'OEIS.

• Bruno Martin — « Une conjecture sur le triangle de Pascal » — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

• Arithmétique et théorie des nombres